數(shù)學發(fā)展史上的小故事有哪些？
數(shù)學發(fā)展史上的三次危機
無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)---第一次數(shù)學危機
大約公元前5世紀,不可通約量的發(fā)現(xiàn)導致了畢達哥拉斯悖論。當時的畢達哥拉斯學派重視自然及社會中不變因素的研究,把幾何、算術(shù)、天文、音樂稱為四藝,在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性。
他們認為：宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比,畢達哥拉斯學派的一項重大貢獻是證明了勾股定理,但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比（不可通約）的情形,如直角邊長均為1的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學派的根本信條,導致了當時認識上的危機,從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學危機。
到了公元前370年,這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法,出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第5卷中。歐多克斯和狄德金于1872年給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理,仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。
第一次數(shù)學危機對古希臘的數(shù)學觀點有極大沖擊。這表明,幾何學的某些真理與算術(shù)無關(guān),幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示,反之卻可以由幾何量來表示出來,整數(shù)的權(quán)威地位開始動搖,而幾何學的身份升高了。危機也表明,直覺和經(jīng)驗不一定靠得住,推理證明才是可靠的,從此希臘人開始重視演譯推理,并由此建立了幾何公理體系,這不能不說是數(shù)學思想上的一次巨大革命!
無窮小是零嗎?---第二次數(shù)學危機
18世紀,微分法和積分法在生產(chǎn)和實踐上都有了廣泛而成功的應用,大部分數(shù)學家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。
1734年,英國哲學家、大主教貝克萊發(fā)表《分析學家或者向一個不信正教數(shù)學家的進言》,矛頭指向微積分的基礎(chǔ)--無窮小的問題,提出了所謂貝克萊悖論。他指出：牛頓在求xn的導數(shù)時,采取了先給x以增量0,應用二項式（x 0）n,從中減去xn以求得增量,并除以0以求出xn的增量與x的增量之比,然后又讓0消逝,這樣得出增量的最終比。
這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)---先設(shè)x有增量,又令增量為零,也即假設(shè)x沒有增量。他認為無窮小dx既等于零又不等于零,召之即來,揮之即去,這是荒謬,dx為逝去量的靈魂。無窮小量究竟是不是零?無窮小及其分析是否合理?由此而引起了數(shù)學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論。
導致了數(shù)學史上的第二次數(shù)學危機。
18世紀的數(shù)學思想的確是不嚴密的,直觀的強調(diào)形式的計算而不管基礎(chǔ)的可靠。其中特別是：沒有清楚的無窮小概念,從而導數(shù)、微分、積分等概念也不清楚,無窮大概念不清楚,以及發(fā)散級數(shù)求和的任意性,符號的不嚴格使用,不考慮連續(xù)就進行微分,不考慮導數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級數(shù)等等。
直到19世紀20年代,一些數(shù)學家才比較關(guān)注于微積分的嚴格基礎(chǔ)。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始,到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結(jié)束,中間經(jīng)歷了半個多世紀,基本上解決了矛盾,為數(shù)學分析奠定了嚴格的基礎(chǔ)。
悖論的產(chǎn)生---第三次數(shù)學危機
數(shù)學史上的第三次危機,是由1897年的突然沖擊而出現(xiàn)的,到現(xiàn)在,從整體來看,還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學分支,并且實際上集合論成了數(shù)學的基礎(chǔ),因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對數(shù)學的整個基本結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。
1897年,福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年后,康托發(fā)現(xiàn)了很相? ??的悖論。1902年,羅素又發(fā)現(xiàn)了一個悖論,它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素于1919年給出的,它涉及到某村理發(fā)師的困境。
理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉,并且,只給村里這樣的人刮臉。當人們試圖回答下列疑問時,就認識到了這種情況的悖論性質(zhì)：理發(fā)師是否自己給自己刮臉?如果他不給自己刮臉,那么他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉,那么他就不符合他的原則。
羅素悖論使整個數(shù)學大廈動搖了。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之后,在他剛要出版的《算術(shù)的基本法則》第2卷末尾寫道：一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了,即在工作完成之時,它的基礎(chǔ)垮掉了,當本書等待印出的時候,羅素先生的一封信把我置于這種境地。
于是終結(jié)了近12年的刻苦鉆研。
承認無窮集合,承認無窮基數(shù),就好像一切災難都出來了,這就是第三次數(shù)學危機的實質(zhì)。盡管悖論可以消除,矛盾可以解決,然而數(shù)學的確定性卻在一步一步地喪失。現(xiàn)代公理集合論的大堆公理,簡直難說孰真孰假,可是又不能把它們都消除掉,它們跟整個數(shù)學是血肉相連的。
所以,第三次危機表面上解決了,實質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)著。
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